Home বিজ্ঞান ও প্রযুক্তি গণিতবিদগণ এর্ডের রঙিন ধারণাটি স্থির করেন

গণিতবিদগণ এর্ডের রঙিন ধারণাটি স্থির করেন

22
0

শরত্কালে 1972 সালে, ভ্যান্স ফেবার কলোরাডো বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন নতুন অধ্যাপক ছিলেন। দুজন প্রভাবশালী গণিতবিদ, পল এরদেস এবং লাসল্লা লোভেস যখন বেড়াতে এসেছিলেন, তখন ফ্যাবার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন একটি চা পার্টি আয়োজনের। বিশেষত এর্ডসের এককেন্দ্রিক এবং উদ্যমী গবেষক হিসাবে আন্তর্জাতিক খ্যাতি ছিল এবং ফ্যাবারের সহকর্মীরা তাঁর সাথে দেখা করতে আগ্রহী ছিলেন।

“আমরা যখন ছিলাম, এই চা দলের অনেকের মতো, এর্ডস একটি কোণে বসে থাকত, তার ভক্তরা তাকে ঘিরে থাকতেন,” ফ্যাবার বলেছিলেন। “তিনি একই সাথে বিভিন্ন বিষয় নিয়ে প্রায়শই বিভিন্ন ভাষায় আলোচনা করতেন” “

এরদেস, ফ্যাবার এবং লোভস তাদের কথোপকথন হাইপারগ্রাফিক্সের উপর केन्द्रিত করেছিলেন, যা গ্রাফ তত্ত্বের এক সময়কার গ্রাহ্য তত্ত্বের প্রতিশ্রুতিশীল নতুন ধারণা। কিছু বিতর্ক করার পরে তারা একটি প্রশ্নে পৌঁছেছিল, যা পরে এরদেস-ফেবার-লোভেস অনুমান হিসাবে পরিচিত recognized এটি নির্দিষ্ট বাধার মধ্যে হাইপারগ্রাফের প্রান্তটি রঙ করার জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম সংখ্যার রঙকে উদ্বেগ দেয়।

“এটি আমাদের পক্ষে সহজতম সম্ভাব্য জিনিস ছিল যেটি সামনে আসতে পেরেছিল,” ফেবার বলেছিলেন, এখন ইনস্টিটিউট ফর ডিফেন্স অ্যানালাইজসের সেন্টার ফর কম্পিউটিং সায়েন্সির গণিতবিদ। “আমরা পার্টির সময় এটিতে কিছুটা কাজ করেছি এবং বলেছিলাম, ‘ওহ ভাল, আমরা আগামীকাল শেষ করব। এমনটা কখনই হয়নি। ”

সমস্যাটি প্রত্যাশার চেয়ে অনেক বেশি শক্তিতে পরিণত হয়েছিল। এর্ডস প্রায়শই এটি তার তিনটি প্রিয় অনুমানের মধ্যে একটি হিসাবে বিজ্ঞাপন করেছিলেন এবং গণিতবিদরা এই অসুবিধাটি অনুধাবন করার সাথে সাথে তিনি সমাধানের জন্য একটি পুরষ্কারের প্রস্তাব করেছিলেন। গ্রাফ তত্ত্বের চেনাশোনাগুলিতে সমস্যাটি সুপরিচিত ছিল এবং এটি সমাধানের জন্য অনেক প্রচেষ্টা আকৃষ্ট করেছিল, যার কোনওটিই সফল হয়নি।

তবে এখন, প্রায় ৫০ বছর পরে, পাঁচ জন গণিতবিদদের একটি দল শেষ পর্যন্ত চা-দলকে সত্য প্রমাণ করেছে। এ-তে প্রিপ্রিন্ট পোস্ট জানুয়ারীতে, তারা নির্দিষ্ট সংখ্যার হাইপারগ্রাফের প্রান্তগুলিকে ছায়া দেওয়ার জন্য যে রঙের প্রয়োজন হতে পারে তার সীমাবদ্ধতা রাখে যাতে কোনও ওভারল্যাপিং প্রান্তগুলির একই রঙ না থাকে। তারা প্রমাণ করে যে রঙের সংখ্যা হাইপারগ্রাফিকের উল্লম্ব সংখ্যার চেয়ে কখনও বেশি নয়।

পদ্ধতির মধ্যে সাবধানে কোনও গ্রাফের কিছু প্রান্ত আলাদা করে রাখা এবং এলোমেলোভাবে অন্যদের রঙ করা জড়িত, গবেষকদের ধারণার সমন্বয় সাম্প্রতিক বছরগুলিতে চালিত বহু দীর্ঘস্থায়ী ওপেন সমস্যা সমাধানের জন্য। তারা সমস্যাটি দেখার সময় এরদেস, ফ্যাবার এবং লোভেসের কাছে এটি উপলব্ধ ছিল না। তবে এখন, এর রেজোলিউশনের দিকে লক্ষ্য রেখে, মূল ত্রয়ী থেকে বেঁচে থাকা দুজন গণিতবিদ তাদের কৌতূহল উস্কে দেওয়া গাণিতিক উদ্ভাবনে আনন্দ নিতে পারবেন।

“এটি একটি সুন্দর কাজ,” বলেছেন বর, এটভিস লরান্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের of “আমি এই অগ্রগতি দেখে সত্যিই সন্তুষ্ট হয়েছিলাম।”

জাস্ট ইনফ কালারস

এরদেস, ফ্যাবার এবং লভেজ যখন চায়ে চলা এবং গণিতের কথা বলছিলেন, তাদের মনে নতুন গ্রাফের মতো কাঠামো ছিল। সাধারণ গ্রাফগুলি বিন্দুগুলি থেকে তৈরি করা হয়, শীর্ষগুলি বলা হয়, লাইন দ্বারা সংযুক্ত, প্রান্তকে বলা হয়। প্রতিটি প্রান্তটি হুবহু দুটি শীর্ষে প্রবেশ করে। তবে হাইপারগ্রাফিক্স এরডস, ফ্যাবার এবং লোভস বিবেচিত কম সীমাবদ্ধ: তাদের প্রান্তগুলি যে কোনও সংখ্যকে ছেদ করতে পারে।

প্রান্তের এই আরও বিস্তৃত ধারণা হাইপারগ্রাফগুলিকে তাদের হাব এবং স্পোক কাজিনের তুলনায় আরও বহুমুখী করে তোলে। স্ট্যান্ডার্ড গ্রাফগুলি কেবল সোশ্যাল নেটওয়ার্কে দু’জনের মতো (যেখানে প্রতিটি ব্যক্তিকে একটি শীর্ষবিন্দু দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়) জোড়া জিনিসগুলির মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করতে পারে। তবে দু’জনের বেশি ব্যক্তির মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করার জন্য – যেমন একটি গোষ্ঠীর অংশীদারিত্বের মতো, প্রতিটি প্রান্তে দু’জনের বেশি লোককে আবদ্ধ করা দরকার, যা হাইপারগ্রাফগুলি অনুমতি দেয়।

তবে, এই বহুমুখিতা দামে আসে: সাধারণ গ্রাফের চেয়ে হাইপারগ্রাফের জন্য সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা আরও শক্ত er

“অনেক অলৌকিক ঘটনা [of graph theory] আপনি হাইপারগ্রাফগুলিতে চলে গেলে নষ্ট হয়ে যায় বা জিনিসগুলি আরও শক্ত হয়ে যায়, “বলেছিলেন গিল কালাই আইডিসি হার্জলিয়া এবং জেরুজালেমের হিব্রু বিশ্ববিদ্যালয়।

উদাহরণস্বরূপ, প্রান্ত-বর্ণের সমস্যাগুলি হাইপারগ্রাফের সাহায্যে আরও শক্ত হয়ে যায়। এই পরিস্থিতিতে, লক্ষ্যটি হ’ল গ্রাফের সমস্ত প্রান্তগুলি (বা হাইপারগ্রাফ) রঙ করা যাতে কোনও শীর্ষবিন্দুর সাথে দেখা হওয়া দুটি প্রান্ত একই রঙের হয় না। এটি করার জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম সংখ্যার রঙগুলি গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সূচক হিসাবে পরিচিত।

এর্ডস-ফ্যাবার-লোভেস ধারণাটি একটি নির্দিষ্ট ধরণের হাইপারগ্রাফের বিষয়ে বর্ণময় প্রশ্ন যেখানে প্রান্তগুলি সংক্ষিপ্তভাবে ওভারল্যাপ হয়। এই কাঠামোগুলিতে, লিনিয়ার হাইপারগ্রাফ হিসাবে পরিচিত, কোনও দুটি প্রান্তকে একের বেশি শীর্ষে ওভারল্যাপ করার অনুমতি নেই। অনুমানটি ভবিষ্যদ্বাণী করে যে একটি রৈখিক হাইপারগ্রাফের ক্রোমাটিক সূচকটি কখনও তার অনুমানের চেয়ে বেশি হয় না। অন্য কথায়, যদি একটি লিনিয়ার হাইপারগ্রাফের নয় টি শীর্ষ থাকে তবে এর প্রান্তগুলি আপনি কীভাবে আঁকেন তা নির্বিশেষে নয়টি রঙের চেয়ে বেশি রঙিন হতে পারে।

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here